Choć atmosfera nie sprzyja dochodzeniu do porozumienia, pocieszać się można tym, że w ogóle zapowiada się dyskusja nad konstytucją. Solidnie zażenowany awanturą trybunalską, rezerwuję swoją pasję dla sprawy ordynacji. Dziś zapowiedziany model probabilistyczny systemu d’Hondta.

Rzecz przedstawiałem w poprzedni wtorek na sympozjum organizowanym przez Centrum Badań Ilościowych nad Polityką UJ (link na końcu). Od strony praktycznej jest to wyjaśnienie, w jaki sposób można przeliczyć wyniki ogólnokrajowych sondaży na spodziewany podział mandatów bez żmudnego a wątpliwego szacowania podziału głosów pomiędzy okręgi. To pokazanie kuchni notki z wieczoru wyborczego. Szerszy ogląd to pytanie o sens konstytucyjnego wymogu proporcjonalności. Tytułem zniechęcenia dla miłośników politycznych ustawek uprzedzę, że będzie trochę matematyki, nawet jeśli na poziomie szkoły podstawowej. Dociekliwych to nie powinno zniechęcać. Moja córka, gdy miała sześć lat, powiedziała kiedyś do siebie – „to trudne, ale nie za trudne dla takiej małej, zdolnej dziewczynki”.

Na początek wyjaśnienie, jak dokładnie działa mechanizm stosowany w Polsce do podziału mandatów w okręgu. Powszechnie znana jest jego formuła ilorazowa (podziel głosy oddane na listy przez kolejne liczby całkowite, etc.). Taka formuła gmatwa niemożebnie całkiem prostą sprawę. W innej formule metoda sprowadza się bowiem do jednego zdania. Musimy znaleźć taką liczbę, że gdy podzielimy przez nią głosy zdobyte przez wszystkie listy i zaokrąglimy w dół, to rozdzielimy tyle mandatów, ile przysługuje danemu okręgowi. Uświadomienie sobie tego zawdzięczam dr Jackowi Hamanowi z UW, który rzecz opisał w swojej książce „Demokracja, decyzje, wybory”.

Ten w sumie prosty mechanizm ma ciekawe konsekwencje. Ich zrozumienie wypada zacząć od wyjaśnienia, jak szukać należy kluczowej dla metody liczby, przez którą będziemy dzielić głosy. Pierwszym krokiem jest wyliczenie „kwoty prostej”, czyli głosów odpowiadających w okręgu jednemu mandatowi. Dzielimy sumę głosów oddanych na wszystkie partie biorące udział w podziale mandatów przez liczbę mandatów w okręgu i już. Teoretycznie jest możliwe, że teraz wystarczy pójść w drugą stronę, by rozwiązać całe zadanie. Jeśli podzielimy wyniki każdej z partii przez taką kwotę, to rozdzielimy wszystkie mandaty. Stanie się tak jednak tylko wtedy, gdy każda partia dostanie idealnie wielokrotność takiej kwoty. Jest to skrajnie nieprawdopodobne. W praktyce przydzielonych tą metodą mandatów pełnych jest mniej niż mamy ich wszystkich rozdzielić. Każdej partii zostaje bowiem jakiś ułamek – naddatek na kolejny mandat. Naddatek ten obcinany jest przy okazji zaokrąglenia. Suma takich ułamkowych naddatków odpowiada liczbie mandatów, które nam zostały do rozdzielenia. Jedno jest tylko pewne – żadna partia nie dostanie mandatów mniej, niż ma mandatów pełnych, wyliczonych dzięki podzieleniu jej wyniku przez kwotę prostą.

Jeśli mamy rozdzielić pozostające ciągle w puli mandaty, musimy zmniejszyć kwotę, przez którą będziemy dzielić głosy. Każde zmniejszenie kwoty powoduje wzrost naddatków partii. W którymś momencie naddatek którejś z partii urośnie na tyle, że zrówna się z naszą nową kwotą. Przeskalowanie kwoty musimy robić aż do momentu, gdy rozdzielimy wszystkie mandaty.

Najlepiej zobaczyć jak to działa na przykładzie. Na podwójnym wykresie, w każdym z naszych okręgów, pokazano drogę ku mandatom dwóch partii – PiS i Nowoczesnej. Na szaro zaznaczono mandaty pełne. Ujemną wartość przypisano naddatkom, wyrażonym jako ułamek mandatu. Wreszcie na zielono pokazano mandaty zdobyte na skutek przeskalowania – czyli różnicę pomiędzy ostateczne zdobytymi mandatami a mandatami pełnymi.

Widać tu kluczową dla sprawy różnicę pomiędzy partią dużą i małą. To, że partia duża ma więcej mandatów pełnych jest oczywiste. Znacznie ważniejsze jest to, że partia największa ma średnio takie same naddatki jak partia o kilkukrotnie niższym poparciu. To wynika z rachunku prawdopodobieństwa – wartość oczekiwana takiego naddatku to pół mandatu. Pomimo podobnych naddatków, liczba mandatów otrzymywanych przez partie w wyniku przeskalowania jakościowo się różni. PiS dostał ich 48 zaś Nowoczesna tylko 9. Dlaczego – to właśnie kluczowy efekt systemu.

Jeśli zmniejszamy kwotę, prawdopodobieństwo zdobycia mandatu jest zależne od wielkości partii. Wydawać by się mogło, że decyduje o tym naddatek na kolejny mandat. Jest jednak czynnik ważniejszy. Im więcej ktoś już ma mandatów pełnych, tym więcej zyskuje na zmniejszeniu kwoty – każdy pełny mandat generuje mu dodatkowy naddatek na kolejny mandat. Gdy okręgów jest 41, prawo wielkich liczb może jeszcze nie działa, lecz prawdopodobieństwo nadzwyczajnego odchylenia od wartości oczekiwanej jest niewielkie. Widać to na wykresie, na którym pokazano oba efekty dla wszystkich czterech wyborów prowadzonych w obecnym systemie i wszystkich 20 ogólnopolskich komitetów, które załapały się w nich na mandat. Na osi poziomej efektywne poparcie dla partii (czyli po odliczeniu ugrupowań podprogowych). Krzyżykami pokazano sumę naddatków we wszystkich okręgach wyrażoną w mandatach. Kółkami – jaki procent mandatów przyznawanych dzięki przeskalowaniu kwoty zdobyła dana partia.

O ostatecznym podziale mandatów przesądzają zatem dwa kroki. Najpierw wszystkie partie wrzucają do wspólnego kociołka po 20,5 mandatu (w polskich realiach, czyli przy 41 okręgach). Ten „wsad do kotła” nie zależy od wielkości poparcia dla partii, jeśli ma ona więcej niż 5% głosów. Jednak z tak stworzonego wspólnego kociołka więksi wyjadają więcej. Tu rodzi się ich nagroda i strata mniejszych. Całość wyraża się wzorem:

S = V∙M – D/2 + V∙D∙P/2

S – liczba mandatów
M – liczba mandatów w parlamencie
V – udział partii w efektywnie oddanych głosach
D – liczba okręgów wyborczych
P – liczba partii biorących udział w podziale mandatów

Im więcej partii bierze udział w podziale mandatów, tym większy jest kociołek i tym więcej zyskują na mechanizmie ci, którzy są więksi od średniej. Jednocześnie każdy z mniejszych traci wtedy mniej. Wykres spodziewanego udziału w mandatach, w zależności od wielkości partii i liczby partii nad progiem, wygląda tak:

W czterech wyborach przeprowadzanych w tym systemie liczba partii wynosiła: raz 4, raz 6 i dwa razy po 5. Pokazane linie dla 3 i 7 partii są więc brzegami nieco poszerzonego wachlarza. Generalnie system jest proporcjonalny i to nawet liniowo, tyle, że nie jest to proporcja 1:1. Żeby była jasność – nie jestem wcale wrogiem takiego mechanizmu. Wręcz przeciwnie. Uważam, że większym partiom należy się premia za utrzymanie jedności. Ta, którą tworzy nasza liczba okręgów, jest bardzo rozsądna. Są tu jednak cztery „ale”.

Po pierwsze nie wiem, jak z takim zjawiskiem mogą sobie radzić konstytucjonaliści. Co prawda w rachunek prawdopodobieństwa można po prostu nie wierzyć, lecz bardzo mnie ciekawi, co by powiedzieli na wpisanie takiego wzoru do procedury podziału mandatów w skali kraju.

Po drugie – to jest tylko wartość oczekiwana, zaś konkretne przypadki mogą się tu nieco różnić. Na przykład Kukizowi się poszczęściło i dostał o 3 mandaty więcej, niż można się tego było spodziewać – liczby otrzymanych przez niego głosów wpasowały się lepiej w ostateczne kwoty. Nie jest wcale wykluczone, że któregoś dnia takie odchylenia przesądzą o tym, kto stworzy rząd.

Po trzecie – podział na okręgi ze sztywną liczbą mandatów prowadzi do innych jeszcze systemowych odchyleń siły partii. Partie z wyższym poparciem w okręgach o wyższej frekwencji tracą, zaś zyskują te, które mają lepszy wynik w okręgach o niższej frekwencji. System przesuwał równowagę pomiędzy PiS i PO o średnio 6 mandatów na niekorzyść tej ostatniej partii. Jak dotąd nie przesądziło to nigdy o ostatecznym składzie rządu, lecz gdyby tak się stało, trudno byłoby dla tego stanu znaleźć przekonujące usprawiedliwienie.

Po czwarte (dla mnie najważniejsze) – okręgi wielomandatowe mają tragiczne skutki na polu napięć terytorialnych oraz dla relacji wewnątrz partii. Ten sam efekt można jednak uzyskać bez nich, tylko trzeba powiedzieć otwarcie, że się tego chce, nie zaś udawać, że tak to tylko wyszło mimochodem.

Tak, czy inaczej, zrozumienie jak to działa jest dla mnie bardzo ważne, nie tylko dlatego, że oszczędza czasu przy obliczaniu spodziewanej liczby mandatów. To uczytelnienie przekazu wysyłanego przez system do klasy politycznej: jeśli zamierzacie się podzielić i wystartować jako dwie partie, to d’Hondt be surprised – dostaniecie mniej mandatów, niż moglibyście zdobyć wtedy, gdybyście startowali razem.

PS. Nieocenioną pomocą w zrozumieniu tego mechanizmu byli dla mnie cierpliwi rozmówcy –  profesorowie: Wojciech Słomczyński, Karol Życzkowski, Jacek Haman i Bartłomiej Michalak. Wielkie dzięki!

PS2. Puchar Pytii

Gdzie w Polsce jest lewica a gdzie prawica, to pytanie nieuchronnie nurtujące zarówno obcokrajowców, jak i rodaków. Nieporozumień znacznie tu więcej niż oczywistości. Polskie podziały ułożyły mi się ostatnio w nowy obrazek. Jest on próbą postawienia kroku dalej względem interpretacji, o których pisałem w „Złudzeniach wyboru”. Szczegółowy opis można znaleźć w eseju opublikowanym na łamach „Studiów Socjologiczno-Politologicznych”. Tu dwa wykresy i refleksja, która przyszło mi ostatnio do głowy.

Pierwszym krokiem jest odejście od typowego sposobu przedstawiania podziałów politycznych – nawet wśród tych, którzy zechcieli dostrzec, że na jedną linię to się zupełnie nie da tego wcisnąć.  Jeśli ktoś już uznaje, że potrzebne są dwie osie – ekonomiczna i obyczajowa – to ustawia je jako odciętą i rzędną (oś x i y) w standardowym układzie współrzędnych. Potrzeba niby tylko ustalić, która oś jest która i gdzie jest plus a gdzie minus. Tradycyjny podział prawica-lewica wychodzi tak czy owak jako któraś z przekątnych. Stąd pomysł, by rzecz zobrazować inaczej. Wykres obrócić o 45° i ustawić go tak, by prawica była po prawej a lewica po lewej. Wygląda to wtedy tak:

Wykres – będący kluczem do eseju –  pokazuje zjawiska, które coraz bardziej demolują sceny polityczne demokracji zachodnioeuropejskich. Stara lewica pogodziła się z demontażem państwa opiekuńczego a stara prawica z rewolucją obyczajową i afirmacją multi-kulti. To doprowadziło do skrócenia politycznego wahadła. Stopniowo establishment zlał się w jedną masę, w której stare podziały są rozróżnialne ledwo-ledwo. Oddalił się też od tych, których niepokoi zarówno neoliberalna globalizacja jak i społeczna dezintegracja (w tym szczególnie emigracja). Zrobiło to miejsce dla dwóch populizmów – antyestablishmentowego populizmu „czarnego” (od czarnych barw, w których opisuje go główny nurt) oraz antypartyjnego populizmu „szarego” (odcinającego się od barw partyjnych).

Problemy z nowymi siłami politycznymi mają Francuzi i Finowie, Brytyjczycy i Austriacy. Każda historia jest trochę inna, lecz stały jest jeden motyw – stara lewica i stara prawica nie mają pomysłu, jak obsłużyć nowe napięcia i podziały. Tymczasem nasza scena polityczna wygląda na tym tle na bardzo przewidywalną. Ruch wahadła rządzący-opozycja, jako  podstawowy demokratyczny standard, odbywa się po całkiem przewidywalnej linii. Na mój rozum dlatego, że ta linia jest prostopadła do tradycyjnego podziału lewica-prawica. Przywoływane tu już raz czy drugi badania elektoratów prowadzone przez CBOS pozwalają to zobrazować w sposób zgodny z intuicją. Potrzebne są do tego tylko jakieś nazwy. Podział na Polskę liberalną i solidarną jest już całkiem blisko, ale rodzi jeden szkopuł. Liberałami można określić zarówno „kon-libów”, którzy wolności cenią tylko w gospodarce, zaś w dziedzinie obyczaju to już niezupełnie. Niektórzy tak nazywają zwolenników swobód obyczajowych, nawet gdyby ekonomicznie byli na przeciwnym końcu skali. Jedni z drugimi nie mają nic wspólnego. By unikać takich nieporozumień, proponuję nazywać tych, którzy wyznają oba rodzaje liberalizmu jednocześnie, „biliberałami”. Solidaryzm społeczny ma zaś wystarczająco długie korzenie, by się nad nim nie rozwodzić. Na wykresie wygląda to tak:

Widać tu nie tylko dlaczego trudno opisywać rywalizację PO-PiS w kategoriach prawica-lewica. Widać też jak zgrabnie obie nasze największe partie wpisują się w dwa populistyczne łowiska. Jedna z refleksji eseju brzmi tak: W efekcie, wszystko to prowadzi do paradoksalnej sytuacji, w której szeroko rozumiany  establishment w Polsce tworzą dwie partie polityczne, z których jedna jest antypartyjna, a druga antyestablishmentowa.  To oswaja i cywilizuje napięcia, które demokracje zachodnioeuropejskie dopiero zaczynają doświadczać.

Oczywiście żadna ze stron sporu nie uzna takiego schematu – każda z nich jest w stanie zaakceptować tylko taki opis, który przyznaje jej bezdyskusyjną wyższość moralną. To prowadzi do tragikomicznego podziału na „Polskę patriotyczną” i  „Polskę racjonalną”. Z tą ostatnią wiąże się refleksja, która pomaga mi zrozumieć, dlaczego Bronisław Komorowski doznał porażki po serii zwycięstw Donalda Tuska, które to zwycięstwa przełamywały wcześniejszą klątwę Unii Wolności. Recz sprowadza się do takiego oto rozumowania:

Partia polityczna, która chciałaby apelować do obywateli mądrzejszych niż przeciętni, z definicji skazuje się na pozostawanie w mniejszości. Potrzebna jest jednak tylko niewielka korekta, żeby dać jej szansę. Partia polityczna, która chciałaby apelować do obywateli, którzy uważają się za mądrzejszych niż przeciętni, mogłaby bez problemu liczyć na większość. Mogłaby, gdyby nie jeden problem. Politycy każdej partii są z natury rzeczy esencją swoich wyborców. Stąd partia, składająca się z polityków, którzy najbardziej ze wszystkich uważają się za mądrzejszych od reszty, na poparcie większości dalej liczyć nie może.

Druga strona też ma swoje brzemię. Niechęć do ważniaków i besserwisserów ściąga do „obozu patriotycznego” zastępy wszelkiej maści frustratów i nawiedzonych. Z własnych szeregów przepędzać ich trudno, gdy w obliczu domniemanych przewag wrogiego obozu kusi zasada „wszystkie ręce na pokład”. Oni też znajdują wśród polityków swoich rzeczników. Tyle, że tacy nadgorliwi rzecznicy uprawiają nieustający sabotaż, porównywalny w sile destrukcji z tym, który u przeciwników jest udziałem wszystkich ostentacyjnych mądrali. Najlepiej nadają się do przekonywania wyborców środka, że głos za zmianą jest głosem szaleństwa.

Skądinąd elegancki układ tożsamości partyjnych potyka się więc raz za razem o taktyczne słabości jednej i drugiej strony. To czyni ostateczny wynik wyborów tak mało przewidywalnym.