Co to znaczy „wygrać” wybory? Co o tym mówi prawo, co matematyka, co zaś zdrowy rozsądek? Teoretycznie nasze prawo nie mówi o tym nic, zaś może precyzyjniej – że w wyborach parlamentarnych nie ma to żadnego znaczenia. Tak należy rozumieć czystą „proporcjonalność” wyborów.
Podział mandatów można wtedy sobie wyobrazić tak jak wypłatę dywidendy przez firmę – udziałowiec z 40% akcji dostaje większą kwotę od tego z 30%, lecz przecież mniejszą niż wszyscy pozostali razem wzięci. Czy odniósł „zwycięstwo” nad udziałowcem trzydziestoprocentowym?
W rozmowie o dywidendzie takie pojęcie nie ma sensu. Gdy chodzi o kontrolę nad spółką, rzecz jest znacznie bardziej skomplikowana, bo wszystko zależy od tego, kto się z kim dogada. Tak też wygląda rzecz ze „zwycięstwem”, jako udziałem w rządzeniu.
Na potoczne rozumienie „zwycięstwa wyborczego” to się już tak łatwo nie przekłada. Czy PSL w wyborach 2007 wygrał z PiS? Najkrótsza odpowiedź brzmi: poniekąd… To znaczy ani tak, ani nie.
Za tydzień wszystkie media będą już jednak pisać o „zwycięzcy” wyborów. Bo nasze przyzwyczajenia nakazują nam myśleć o wyborach jako o wyścigu – gdzie decyduje kolejność, nie zaś wielkość udziału. Dlatego nikt nie ma wątpliwości, że wybory w 2005 roku PiS wygrał, zaś w 2007 roku przegrał. Choć przecież w 2005 roku dostał 27% głosów a dwa lata później o 5% więcej. Przegrał, bo dał się wyprzedzić. Dodatkowo – bo nie miał się z kim dogadać w sprawie władzy. Była to zatem porażka podwójna, dlatego bezdyskusyjna. Co by się jednak stało, gdyby te dwa kryteria „zwycięstwa” się rozeszły – jak na przykład rok temu na Podkarpaciu? Tam symbolika – największy udział dla PiS – poległa w starciu z porozumieniem trzech pozostałych partii, które razem miały większość.
Dotąd tak się w Sejmie nie zdarzyło. Symbolika ma tu bowiem sojusznika – matematykę. Wszyscy wiedzą, że sposób przeliczania głosów na mandaty metodą d’Hondta „faworyzuje duże ugrupowania”. Które to jednak są „duże”? Jak duże to są „fory”? Kto i ile na tym faworyzowaniu traci? Jeśli kogoś zaintrygowało – co pokazywałem w poprzedniej notce – dlaczego więcej partii w parlamencie to wzrost szans na samodzielną większość największej partii, postaram się to wyjaśnić. Dziś notka dla dociekliwych.
Jaką drogę przebywają głosy od procentów w urnie do liczebności poselskich ław? Formalnie w każdym z okręgów osobno, z wspólną barierą dla tych, którzy w skali kraju nie zdobyli co dwudziestego głosu. By zrozumieć, co decyduje o końcowym wyniku, lepiej jednak pójść inną drogą. Na modyfikacje liczby mandatów wpływają trzy czynniki, które na poziomie okręgów trudno dostrzec i niełatwo oszacować.
Pierwszy jest powszechnie znany – to próg wyborczy. Procenty głosów otrzymanych przez zwycięskie partie w oddanych glosach są zawsze niższe, niż procenty w głosach oddanych efektywnie – czyli po odliczeniu tych partii, które nie przekroczyły ustawowego progu. Są zawsze niższe, lecz nie zawsze o tyle samo. Wzrost zależy od tego, ile głosów zdobyli ci jednoznacznie przegrani.
Drugim czynnikiem jest różna waga głosów w poszczególnych okręgach (pisałem o tym w lipcu). Ci, którzy zdobywają większą część głosów w okręgach o wyższej frekwencji i  mniejszym udziale dzieci wśród mieszkańców, dostają sumarycznie mniej mandatów. 
Te dwa czynniki są niezależne od sposobu podział mandatów w okręgu – ten drugi co najwyżej od szczegółowego podziału na okręgi.
Z trzecim czynnikiem kłopot jest większy (moja książka opóźniła się wiele miesięcy z powodu konieczności jego rozgryzienia).  Chodzi tu właśnie o preferencje dla dużych partii wynikające ze sposobu zaokrąglania (dwie notki temu wyjaśniałem, co ma wspólnego d’Hondt z zaokrągleniem). Grupa matematyków z Niemiec i USA, na czele z Karstenem Schusterem, zadała sobie trud sprawdzenia, ile wynosi różnica pomiędzy procentem głosów a procentem mandatów dla wszystkich możliwych układów wielkości partii i wielkości okręgu. Uśredniony efekt układa się w całkiem prosty wzór. W systemie d’Hondta pierwsza w kolejności partia dostaje w okręgu, niezależnie od jego wielkości, średnio o pół mandatu więcej niż druga. Druga dostaje średnio o ćwierć mandatu więcej niż trzecia, trzecia o jedną szóstą mandatu więcej niż czwarta, czwarta o jedną ósmą więcej niż piąta, itd. Takie modyfikacje muszą się zsumować do zera. Jak to ostatecznie wygląda w zależności od liczby partii, pokazuje wykres (od prawej ku lewej modelowy zysk/strata dla kolejnej partii, dla 2, 3 i aż do 7 partii):
  
Jeśli zatem walczą cztery partie, to zwycięzca wyścigu dostanie średnio o pół mandatu więcej, niż czysty procent, drugi w zasadzie tyle, ile się należy, natomiast na zysk zwycięzcy złożą się straty trzeciego i czwartego. Jeśli walczy sześć partii, zwycięzca dostanie w nagrodę prawie 3/4 mandatu, drugi – 1/5, zaś straty będą udziałem czwartego, piątego i szóstego. Im więcej zawodników, tym większa chwała z wyprzedzenia innych.
Tak wygląda prawdopodobieństwo. Jak to wygląda w realu? Na kolejnym wykresie różnice pomiędzy mandatami należnymi partiom bez zaokrąglenia a tymi rzeczywiście otrzymanymi w 2007 roku. Jednak nie dla konkretnych partii, lecz w zależności od kolejności w okręgu (dla 40 okręgów, gdzie były 4 partie, czyli bez Opola). Posortowane dla każdego miejsca na podium z osoba, od największej nagrody do największej straty:
  
Widać, że faktycznie jest tu wyraźna modelowa nagroda, nie ma jednak żadnej pewności w każdym z przypadków z osobna. Średnie zyski/straty pasują do modelu Schustera deprymująco – zwycięzca średnio dostaje o pół mandatu więcej, niż mu się należy, zaś czwarty w kolejności – o ponad jedną trzecią mandatu mniej, ale… W jednej dziesiątej przypadków strata jest udziałem zwycięzcy (niewielka) i tak samo w jednej dziesiątej przypadków to akurat czwarty dostaje nagrodę. Tak naprawdę to wpasowanie się konkretnej liczby głosów w kolejne ząbki zaokrąglenia można uznać za czynnik losowy o sporym rozrzucie.
Tu kluczowego znaczenia nabiera sprawa liczby okręgów, w których dzieli się mandaty – z trzech powodów. Średnio pół mandatu do przodu w 4o okręgach to w sumie 20 mandatów – naprawdę duża siła w polskim Sejmie. To także wystarczająco dużo losowań, by szansa na znaczące odchylenie od spodziewanych wartości była naprawdę niewielka. Tym niemniej, jakaś szansa tu jest.
Trzeci efekt liczby okręgów to wzrastająca z ich liczbą rola geograficznego zróżnicowania poparcia. Im więcej okręgów, tym mniej regularnie układają się kolejności. W 2007 roku PO wygrała w 27 okręgach, zaś PiS w 14. LiD wyprzedził PSL w 28 przypadkach, PSL był trzeci w pozostałych 13. Im więcej okręgów, tym mniejsza szansa, że zwycięzca w skali kraju dostanie nagrodę w każdym z okręgów.
Jaka jest waga każdego z wymienionych tu czynników – ustawowego progu, różnej wagi głosu, kolejności w okręgu i wreszcie losu? Pokazują to trzy wykresy. Na każdym z nich przedstawiono, jak zmienia się teoretyczna liczba mandatów należna każdej z partii po każdej z modyfikacji. Najpierw punkt wyjścia – ilu mandatom odpowiada surowy procent głosów zdobytych przez partię. Potem wzrost wywołany przez eliminację części konkurencji przez próg. Potem łączny efekt zróżnicowanej wagi głosu w okręgach. Następnie spodziewana modyfikacja na podstawie kolejności w poszczególnych okręgach. Na koniec wynik podziału zgodnie z ustawową procedurą. Dla lepszego obrazu wyniki z 2001 roku przeliczone tak, jakby wyglądały, gdyby stosowano metodę d’Hondta, nie zaś St. Lague (powiększa się po kliknięciu).
  
Zwycięstwo w wyścigu nie ma tylko charakteru symbolicznego. System nagradza zwycięzców nie tylko kosztem partii „podprogowych”, lecz i wyborczego „peletonu”. Nagroda może być zmniejszona, jeśli sukces jest wypracowany w okręgach o wysokiej frekwencji. Mechanizm nagradza/karze tylko relatywną wielkość partii. LiD w 2007 miał większe poparcie niż PO w 2001, lecz mandatów zdobywa mniej, bo jest trzeci, nie zaś drugi. Identyczne poparcie dla PSL w 2001 i 2007 roku może oznaczać różną liczbę mandatów, bo ostatni z czterech ma gorzej niż piąty z sześciu.
To, jak modelowa nagroda za kolejność pasuje do rzeczywistego podziału mandatów, zależy najwyraźniej od tego, czy partie układają się w swej wielkości w najbardziej prawdopodobny sposób. W 2007 roku tak właśnie było, w 2001 roku ogon wyraźnie odstawał od lidera, stąd i jego nagroda mogła być większa. O problemie pisałem jeszcze w lutym – w tamtej notce można znaleźć spodziewane wielkości partii na podstawie ogólnoświatowych i krajowych porównań. Wszystkie takie szczegóły nieuchronnie zaciemniają obraz. Tym niemniej, wielkość nagrody jest całkiem przewidywalna i całkiem znacząca.
Co do samego mechanizmu, to nagroda dla zwycięzcy jest bliska mojemu sercu, czego o różnej wadze głosu w różnych miejscach powiedzieć już nie można. Nagroda za kolejność zachęca do integracji a zniechęca do zbędnych podziałów. Tyle tylko, że w naszym systemie wprowadzona jest tylnymi drzwiami. Choć można ją wyczuć, to w zbliżeniu nie wygląda już zbyt czytelnie. Oparta jest na rachunku prawdopodobieństwa, zaś 41 losowań jeszcze wcale nie gwarantuje, że w ogóle wystąpi.
Od strony formalnej, najzabawniejsze jest, jak z taką sytuacją współgra konstytucyjny wymóg proporcjonalności ordynacji. Czy w świetle konstytucji można stosować system, który odchyla wyniki od proporcjonalności ze względu na kolejność partii w wyborczym wyścigu? Można, można, byle z wolna i z ostrożna…

PS.
Powstanie tej notki, podobnie zresztą jak poprzedniej, nie byłoby możliwe, gdyby nie wiedza i wskazówki trzech badaczy systemów wyborczych od liczbowej strony – profesorów Wojciecha Słomczyńskiego (matematyka) i Karola Życzkowskiego (fizyka) oraz doktora Jacka Hamana (socjologa). Współpraca z nimi to nie tylko głębsze zrozumienie – to także wiele radości ze zderzania się różnych spojrzeń.
Z wspomnianymi modelowymi wielkościami partii było tak – po zadaniu problemu, przed kolejnym spotkaniem, nastąpiła wymiana maili. W otrzymanym do wiadomości znalazłem takie zdanie Karola: Wojtku, to nie trzeba liczyć żadnych skomplikowanych całek – wystarczy wziąć współrzędne barycentrum niesymetrycznego sympleksu. Pomyślałem natychmiast – Cudowne! Poćwiczę i zapamiętam, by na najbliższej konferencji w gronie humanistów rzucić niedbale: „Modelową wielkość partii przyjęto na podstawie współrzędnych itd.”. Sprawdziłem na zaprzyjaźnionym gronie – reakcje słuchaczy robią niezapomniane wrażenie. :). Zaś rzeczone współrzędne w różnych wariantach zostały następnie przez Karola policzone na samolotowej papierowej torebce… Drodzy Koledzy – dzięki za pomoc i cierpliwość!